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La matematica nel Rinascimento: tra prospettiva e architettura

All’inizio del XIV secolo, gli artisti si resero conto che era necessario trovare un metodo per rappresentare la profondità nello spazio pittorico, al fine di renderlo più realistico. Giotto (1267-1337) e Ambrogio Lorenzetti (1290 ca.-1348) furono i primi a porre le basi di questa ricerca, che culminò con l’invenzione della prospettiva lineare da parte di Filippo Brunelleschi (1377-1446). Due viaggi a Roma gli permisero di conoscere l’architettura antica, che studiò in maniera rigorosa, da un punto di vista matematico e fisico. Le sue conoscenze di matematica, geometria e ottica gli consentirono di produrre nel 1413 una tavoletta prospettica che rappresentava il Battistero di S. Giovanni a Firenze. Su una tavoletta quadrata di 30 cm per lato aveva dipinto il battistero in ogni suo dettaglio. Per dimostrare la verosimiglianza dell’immagine, Brunelleschi praticò un foro svasato verso il retro nella parte inferiore della tavoletta, attraverso il quale l’osservatore, posizionato appunto dietro al pannello, poteva vedere il battistero riflesso in uno specchio. La sua impressione sarebbe stata di osservarlo trovandosi circa 60 cm all’interno della porta centrale del Duomo. brunelleschi 1Brunelleschi utilizzò una lamina d’argento al posto del cielo per riflettere il cielo reale al fine di accentuare la verosimiglianza, esaltando l’effetto illusionistico. Dal momento che un’immagine allo specchio è riflessa al contrario, il disegno era stato eseguito con rovesciamento simmetrico. Quest’opera permise a Brunelleschi di dimostrare che era possibile eseguire un disegno considerando il punto di vista dell’osservatore. L’artista preparò poi una seconda tavoletta realizzata in Piazza della Signoria, con la vista di Palazzo Vecchio e della Loggia dei Lanzi. In questo caso scelse una posizione angolata e non sfruttò l’espediente del foro e dello specchio, ma una volta ritagliato il cielo dimostrò che il profilo degli edifici disegnati collimava con quello dell’immagine reale, provando così una perfetta coincidenza visiva. In questo modo Brunelleschi aveva inventato la prospettiva lineare.

brunelleschi 2Tra il 1420 e il 1436, Brunelleschi progettò e diresse la realizzazione della cupola del Duomo di Firenze. Le conoscenze dell’epoca non permettevano di edificarne una con base di 43 metri: non si potevano costruire impalcature così grandi. Il Brunelleschi sviluppò allora una tecnologia complicata ma funzionale: costruì una doppia cupola, una interna a sorreggere quella esterna, che permise di evitare l’utilizzo di impalcature. Nella realizzazione di questo progetto, Brunelleschi dimostrò la sua fiducia nel raziocinio, vincendo le perplessità, le critiche e le incertezze degli operai del Duomo. Il suo ingegno non si limitò alla sola progettazione della cupola, ma anche al miglioramento delle tecniche di costruzione dell’epoca. Per sollevare con maggiore facilità i pesanti blocchi di laterizio, applicò agli argani e alle carrucole moltiplicatori simili a quelli usati nella fabbricazione degli orologi, in grado di aumentare l’efficacia della loro forza. Due cavalli venivano legati ad un albero verticale, che ruotando generava un movimento ascendente, trasmesso poi ad un albero orizzontale dal quale si arrotolavano e srotolavano le funi. Brunelleschi aveva così inventato le prime gru, che affascinarono anche Leonardo da Vinci.

Piero 1Anche Piero della Francesca (1416/17 -1492) riversò nelle sue opere le sue conoscenze matematiche e prospettiche. Il suo trattato “De prospettiva pingendi” è un codice grafico e descrittivo del disegno prospettico: nei 110 fogli si trovano disegni dell’artista con numerose correzioni, note marginali ed estese aggiunte a mano, dimostrando il lavoro di continua revisione. Il trattato approfondisce le tecniche prospettiche per la realizzazione di figure piane e di solidi geometrici, e più complesse come quella umana.

Anche se la notizia non ha mai trovato conferme ufficiali, parrebbe che Leonardo da Vinci, una volta appreso dell’esistenza del “De prospettiva pingendi”, avrebbe rinunciato a scrivere un suo trattato sulla prospettiva. L’arte di Piero della Francesca trae ispirazione da diverse correnti (fiorentina e fiamminga, per citarne due) che si ricongiungono agli insegnamenti di Euclide e Pitagora, raggiungendo un nuovo livello di espressività. Oltre al “De prospettiva pingendi”, l’artista fu autore di altri trattati di geometria, come il “Libellus de quinque corporibus regularibus” e il “Trattato d’abaco”. Quest’ultimo è una successione di 574 proposizioni che risolvono problemi aritmetici e geometrici per via algebrica. Un discorso molto simile vale per le 140 proposizioni che compongono il Libellus. Inoltre, nel 2005 venne rinvenuto nella Biblioteca Riccardiana di Firenze un trascritto del corpus archimedeo eseguito da Piero, dimostrando il suo interesse per la geometria greca. Nelle sue opere si trova una sintesi tra la geometria euclidea e la matematica abachista. La prima è la geometria come la conosciamo: consiste nell’assunzione di cinque semplici e intuitivi concetti, detti assiomi dai quali si possono sviluppare altre proposizioni (teoremi) che non abbiano alcuna contraddizione con essi. Questa organizzazione della geometria permise l’introduzione della retta, del piano, della lunghezza e dell’area. La matematica abachista si ritiene sia stata introdotta dal primo maestro pubblico di abaco, il matematico pisano Leonardo Fibonacci (1170 – 1242 ca.), che nel 1202 pubblicò il suo “Liber abaci” (Il libro dell’abaco). Quest’opera racchiude le conoscenze algebriche e matematiche dell’epoca, implementate da contributi originali dell’autore. Vengono introdotte per la prima volta le cifre indo-arabe, in un’epoca nella quale la matematica veniva praticata con gli scomodi numeri romani. Fibonacci introduce poi le quattro operazioni aritmetiche (addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione), sia con numeri interi che frazionari. Affronta anche la matematica mercantile (baratti, acquisti, vendite e monete), le radici quadrate e cubiche, le figure geometriche e infine l’algebra. Il trattato di Fibonacci impiegò circa un secolo prima di essere apprezzato, dimostrando quanto innovativo fosse per l’epoca. La sua diffusione fu favorita dalle scuole dell’abaco, che rielaborarono in forma più pratica la versione originale. Solitamente le copie realizzate portavano la firma di matematici, banchieri, commercianti. Un’eccezione è rappresentata appunto da Piero della Francesca. Nei suoi lavori matematici, Piero si differenzia dai maestri d’abaco in quanto non si sofferma sul risultato e sul procedimento risolutivo (in genere descrittivo), bensì sulla formula matematica da applicare. Un esempio di problema trattato da Piero è come calcolare il volume di due cilindri intersecati perpendicolarmente, dato il diametro (discusso nel “Libellus de quinque corporibus regularibus”). L’argomento era di particolare interesse tra gli architetti dell’epoca, in quanto la formula risolutiva serviva a calcolare il volume della volta a padiglione, anche se Piero non la cita esplicitamente nel suo trattato. Sappiamo che il problema di calcolare il volume di tale solido è stato enunciato e dimostrato da Archimede nel suo Metodo, in quanto lo rivela nella lettera dedicata a Eratostene. Tuttavia, il Metodo archimedeo fu scoperto solamente nel 1907 e non esiste prova che fosse conosciuto in epoca rinascimentale. Un altro problema risolto da Piero fu come calcolare la superficie della volta a crociera, data l’altezza e il diametro degli archi.

Nel “Trattato dell’abaco”, Piero risolve circa il 55% dei problemi in modo algebrico. All’epoca, l’algebra aveva basi solide nelle equazioni di 1° e di 2° grado e in quelle di grado superiore al 2° binomie e biquadratiche. Piero invece si cimenta anche nelle equazioni di 3° grado e di grado superiore complete, che costituivano allora un campo di ricerca avanzata. Tuttavia, commise dei gravi errori nella loro risoluzione, (la risoluzione corretta venne spiegata nel corso del Cinquecento, ad opera degli algebristi italiani Scipione del Ferro, Niccolò Tartaglia, Gerolamo Cardano e Ludovico Ferrari). Uno degli errori che commise fu quello di risolvere le equazioni di tipo ax3=bx+c; ax3=bx2+c; ax3=bx2+cx+d come se fossero di 2° grado (quando invece sono di 3°). Altri risultati invece suscitano un certo interesse matematico e hanno una certa rilevanza.

In una visione d’insieme, mentre Leonardo da Vinci può essere visto come un genio poliedrico del Rinascimento, Piero della Francesca fu uno specialista della pittura e della matematica: potrebbe essere definito come uno dei primissimi tecnici, ovvero coloro che posero le basi alla rivoluzione scientifica nei secoli a venire.

Se vi interessa il secolare rapporto tra scienza e arte, ve lo racconto qui. Qui invece trovate un approfondimento sul rapporto tra anatomia e arte nel Rinascimento.

 

Fonti

http://www.didatticarte.it/Blog/documenti/Zanichelli_Sammarone_Brunelleschi.pdf

https://it.wikipedia.org/wiki/Filippo_Brunelleschi

https://www.beniculturali.it/mibac/export/MiBAC/sito-MiBAC/Contenuti/MibacUnif/Comunicati/visualizza_asset.html_1358434288.html

Fabio Toscano. La formula segreta. Tartaglia, Cardano e il duello matematico che infiammò l’Italia del Rinascimento. Sironi Editore.

Gamba E, Montebelli V, Puccinetti P. La matematica di Piero della Francesca. 59 lettera matematica. Pag. 49-60.

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